匿名でドメイン名を登録することはできますか？

匿名で登録することができます。
誰もが参照できるWHOIS情報は、代理公開サービス（無料）をご利用いただくことにより、そのドメインを誰が所有しているかわからない状態にすることができます。

ただ、ラッコドメインを利用するにあたり、ユーザー情報をご登録いただく必要があります。
こちらは基本的に第三者に公開されることはございませんが、虚偽のないよう正確な情報をご登録を頂く必要がございます。